Tableau des mesures statistiques les plus utilisées

N: Taille de la population
n: Taille de l’échantillon
x_i:  i-ème observation de la variable X dans l’échantillon
n_i: Effectif associé à la i-ème valeur de la variable
f_i:   Fréquence associée à la i-ème valeur de la variable f_i  = n_i / n  ou 0 ≤ f_i ≤  1
X_i:  i-ème observation de la variable X dans la population
p_i: probabilité de la i-ème observation de la variable 0 ≤ p_i ≤  1

Série de données
[univers équipondéré]

Distribution
[univers probabiliste]

Moyenne:

– dans l’échantillon n: x̄ ,

  – dans la population N: μ ;

Ou en probabilité:  espérance E(X)

1. x̄ = Σ x_i / n

2. μ = Σ X_i / N

La moyenne est la somme des observations divisée par n (N)

1. x̄ = Σ (x_i.f_i)

2. μ = Σ (X_i.f_i)

3. E(X) = Σ (X_i.p_i)

La moyenne est la somme pondérée des observations

(quand la population N est de petite taille )

 2. σ = √ σ²

La variance est la somme des écarts à la moyenne au carré divisée par N

L’écart-type est égal à la racine carrée de la variance (la variance est égale au carré de l’écart-type)

1. σ² = Σ (x_{i –} x̄)².f_i

 2. σ = √ σ²

En probabilité:

1. Var(X) = Σ (X_{i –} E(X))² . p_i

2. σ = √ Var(X)

La variance est la somme pondérée des écarts à la moyenne au carré.

Variance corrigée s² et écart-type corrigé s

(quand on utilise un échantillon pour estimer la variance de la population)

s² = Σ (x_{i –} x̄ )² / (n-1)

 s = √ s²

La variance corrigée est la somme des écarts à la moyenne au carré divisée par (n-1)

L’écart-type corrigé est égal à la racine carrée de la variance corrigée (la variance corrigée est égale au carré de l’écart-type)

Modèle de transformation linéaire ou régression simple

Y = a + b.X  ( ou Y = b₀ + b₁.X ou Y = α + β. X )

Y est la variable dépendante et X la variable indépendante

[En finance, le Médaf (ou CAPM): E(Ri) = r_f + β.(E(R_m) – r_f) est un modèle de transformation affine]

Covariance σ_xy

 (quand la population N est de petite taille )

ou

σ_xy = ρ. σ_x.σ_y [cf. corrélation]

La covariance est la somme des produits des écarts à la moyenne des variables divisée par N.

La covariance est égale au produit de la corrélation et des écarts-type des variables.

σ_xy = Σ [(x_{i –} x̄). (y_i-ӯ)]. f_i

 En probabilité:

 Cov(X,Y) =

Σ [(x_{i –} x̄). (y_{i – ӯ})]. p_i

 La covariance est la somme pondérée des produits des écarts à la moyenne des variables.

Covariance corrigée s_xy

s_xy = Σ [(x_{i –} x̄). (y_{i – ӯ})] / N

ou

s_xy = r. s_x.s_y

[cf. corrélation]

La covariance est la somme des produits des écarts à la moyenne des variables divisée par N.

La covariance est égale au produit de la corrélation et des écarts-type des variables.

Corrélation r ou ρ

Dans un échantillon: r = s_xy / s_x.s_y

Dans la population: ρ = σ_xy / σ_x.σ_y

 La corrélation est le rapport de la covariance (corrigée) divisée par le produit des écarts-type (corrigés)

Pente b ou β

b = s_xy / s_x² ou β = σ_xy / σ_x²

La pente est le rapport de la covariance (corrigée) entre les variables et de la variance (corrigée) de la variable indépendante (X)

[Dans le Médaf, le bêta est égal à la covariance entre le rendement du titre et le rendement du marché, divisée par la variance du rendement du marché]

Modèle de régression à 2 variables

Z = a.X + b.Y

Moyenne ou espérance

E(Z) = a.E(X) + b.E(Y)

Variance

Var(Z) = a².Var(X) + b².Var(Y) + 2.a.b.cov(X,Y)

[En finance, en gestion de portefeuille, vous cherchez à minimiser le risque c-a-d l’écart-type de votre portefeuille. Vous cherchez donc des titres négativement corrélés. En effet, seule une corrélation négative permet de réduire la variance du portefeuille (c-a-d rendre la covariance négative)]