Essentiel CFA: Régression simple – corrélation, hypothèses et intervalle de confiance

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Finobuzz – Essentiel CFA: Régression simple – corrélation, hypothèses et intervalle de confiance

L’intégralité de la matière sur la régression simple liant une variable dépendante Y à une variable indépendante X est transposable aux régressions multiples. Vous avez donc tout intérêt à la maîtriser pour réussir vos examens CFA.

Le modèle de régression simple ou de transformation affine lie une variable dite dépendante, souvent appelée Y, à une variable indépendante, X.

Ce modèle s’écrit sous la forme:

Y = a + b.X 

Vous le verrez aussi souvent écrit:

Y = α + β.X

avec a = α = ordonnée à l’origine [valeur de Y si X=0]

et b = β = pente de la droite de régression linéaire

Graphiquement:

220px-Linear_regression.svg

Source:Wikipedia

À partir du moment que vous avez de l’information sur X, vous en avez aussi sur Y.

Notamment, si vous connaissez:

  • l’espérance de X, E(X), alors vous pouvez déterminer celle de Y, E(Y).

E(Y) = a + b.E(Y)

  • la variance de X, Var(X), alors vous pouvez calculer celle de Y.

Var(Y) = b2.Var(X)

La pente de la droite de régression se calcule en divisant la covariance entre X et Y, σx,y, par la variance de X, σ2x.

b = β = σx,y / σ2x

Notez que bien que la matière de la régression simple soit transposable aux régressions multiples, certains sujets sont propres à la régression simple.

Il s’agit:

  • 1. du coefficient de corrélation,
  • 2. des hypothèses de la régression,
  • 3. de la formation d’un intervalle de confiance pour la variable dépendante (Y).

1 – Coefficient de corrélation / Correlation Coefficient

Le coefficient de corrélation, noté r pour les échantillons et ρ pour la population est une mesure de l’intensité de la relation linéaire (corrélation) entre deux variables.

La corrélation se calcule à partir de la covariance et des écart-types des variables. Elle est définie telle que la covariance divisée par le produit des écart-types des variables.

Mathématiquement:

r = ρ = σx,y  / (σxy)

avec:

 σx,y : covariance entre X et Y

σx : écart-type de X

σy: écart-type de Y

Un coefficient d’une valeur de 1 indique que les 2 variables sont parfaitement corrélées, elles bougent dans le même sens et dans la même proportion.

Un coefficient de -1 indique pour sa part que les variables sont parfaitement inversement corrélées, elles évoluent dans la même proportion mais en sens opposé.

Un coefficient de 0 traduit une absence de relation linéaire.

Afin de tester si le coefficient de corrélation est significatif, autrement dit que le coefficient de corrélation est différent de zéro (hypothèse nulle H0: ρ = 0), il convient de calculer la valeur du t de Student (avec n-2 degré de liberté), tel que:

t = (r.(n-2)0,5) / (1-r2)0,5

 2 – Hypothèses de la régression / Regression Assumptions

Le modèle de régression simple est basé sur 6 grandes hypothèses:

  • Il existe une relation linéaire entre la variable dépendante et la variable indépendante.
  • La variable indépendante n’est pas corrélée au terme résiduel
  • L’espérance du terme résiduel est nulle
  • La variance du terme résiduel est constante
  • Le terme résiduel est distribué indépendamment, c’est à dire que le terme résiduel pour une observation n’est pas corrélé à celui d’une autre observation (une violation de ce principe s’appelle l’auto corrélation)
  • Le terme résiduel suit une distribution normale (Gauss-Jourdan)

3 – Intervalle de confiance pour la prédiction de Y / Confidence Interval for a Predicted Y-Value

L’intervalle de confiance pour la valeur prévue de Y [espérance de Y, E(Y)], dans une régression simple, s’exprime sous la forme:

borne inférieure: valeur prévue de Y – (valeur critique de t).(erreur standard de prédiction)

borne supérieure: valeur prévue de Y + (valeur critique de t).(erreur standard de prédiction)

Visitez L’Essentiel du Titre CFA

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