FIN3500: Valeur temps de l’argent [série d’annuités et perpétuités] – Formules et calculatrice

FIN3500: Valeur temps de l’argent [Valeur actuelle / future d’une série d’annuités et perpétuités] – Formules et calculatrice Sharp financière

Nous avons vu dans un précédent article comment calculer la valeur actuelle ou future d’une série de flux monétaires variables. Nous prolongerons ici cette matière au cas d’une série de flux constants, ce qu’on appelle des annuités.

Cet article se compose de trois parties. La première traite des concepts liés aux annuités (définition, formules et calculatrice), la seconde parlera des perpétuités, et la dernière partie vous permettra de mettre en pratique vos connaissances en vous proposant une petite série d’exercices…

I – Série d’annuités

1/ Définition d’une annuité

« L’annuité d’un emprunt correspond à la trésorerie déboursée annuellement pour le remboursement de la dette et la charge d’intérêt, » dit le Lexique financier de Les Échos.

Plus généralement, on parle d’annuités lorsqu’on est en présence d’une série de flux monétaires [cash flow] constants.

Dans le cas d’un prêt ou d’une hypothèque, les remboursements sont des flux constants donc des annuités.

Si vous effectuez des dépôts d’un montant constant, vous êtes aussi en présence d’annuités, etc.,etc.

En résumé, mémorisez:

Annuité = flux monétaire constant

2/ Formules

Graphiquement, voici une suite d’annuités accompagnée des formules pour calculer la valeur actuelle d’une série de N annuités (VAA) ou la valeur future d’une série de N annuités (VFA):

Réalisation: FCS Tutorat

Les formules de la VAA et de la VFA ne sont qu’un cas particulier du modèle général que nous avons déjà présenté d’actualisation ou de capitalisation d’une série de flux monétaires variables.

Le fait qu’une annuité est un flux monétaire constant justifie que le modèle général peut être réécrit sous ces deux expressions simplifiées:

1/ Valeur actuelle d’une série d’annuité: VAA

VAA = FM.[ (1 – (1+i/n)^–N) / (i/n) ]

Avec
FM: flux monétaire constant [montant de l’annuité]
i/n: taux périodique [i: taux nominal ; n: fréquence de capitalisation]
N: nombre d’annuité

2/ Valeur future d’une série d’annuité: VFA

VFA = FM.[ ((1+i/n)^N– 1 ) / (i/n) ]

Avec
FM: flux monétaire constant [montant de l’annuité]
i/n: taux périodique [i: taux nominal ; n: fréquence de capitalisation]
N: nombre d’annuité

Là encore, ne paniquez pas, vous n’avez pas besoin de mémoriser ces formules (elles vous seront données le jour de votre examen) et en plus, vous pouvez faire ces calculs avec votre calculatrice financière Sharp.

3/ Calculatrice financière Sharp

Pas encore de calculatrice ?! Lisez: Étudiant en finance: Quelle calculatrice financière choisir?!

Nous avons déjà vu lorsque nous avons étudié le concept de la valeur temps de l’argent pour un flux monétaire unique que vous pouvez utiliser les fonctions de votre calculatrice financière Sharp, notamment les touches:

N ; I/Y; PV ; PMT ; FV.

Lorsque vous étudiez des annuités, vous allez désormais vous servir de la touche PMT.

Comme lorsque vous aviez un flux monétaire simple:

À partir du moment que vous connaissez la valeur de 3 variables, vous pouvez calculer celle de la 4ème variable qui vous intéresse.

[NB: Pensez bien à effacer la mémoire de votre calculatrice avant de faire des calculs… Pour rappel: Appuyez sur 2ndF puis sur Alpha puis sur 0 et encore sur 0.

Pensez aussi à être en mode « normal », pas en mode « Stat »… Pour cela, appuyez sur Mode puis 0]

Comme pour l’actualisation ou la capitalisation d’un flux simple, souvenez-vous que votre PV [FV] et la PMT doivent avoir des signes de sens opposé !!

Si vous utilisez la formule de la VAA [=FM.[ (1 – (1+i/n)^–N) / (i/n) ]] , voici les variables à utiliser:

N	I/Y	PV	PMT
N: nb d’annuités	i/n: taux périodique	VAA: valeur actuelle	FM: montant de l’annuité

Si vous utilisez la formule de la VFA [=FM.[ (1+i/n)^N-1) / (i/n) ]] , voici les variables à utiliser:

N	I/Y	PMT	FV
N: nb d’annuités	i/n: taux périodique	FM: montant de l’annuité	VFA: valeur future

Si vous étudiez des flux qui ont lieu en début de période, mettez votre calculatrice en mode « Begin. »

Pour cela, appuyez sur 2nF puis sur FV [BGN/END].

L’inscription BGN s’affichera en haut de l’écran de la machine, vous pouvez commencer à faire vos calculs !!!

II – Les perpétuités

Nous venons de parler d’une série de N annuités mais il se peut aussi que vous ayez à étudier une série d’annuités sans fin, jusqu’à l’infini.

Dans ce cas on parlera de perpétuités.

Vous devez savoir calculer la valeur actuelle des perpétuités (VAP), ce qui est relativement simple.

Cela revient à diviser le montant de l’annuité perpétuelle, le flux monétaire constant FM, par le taux d’intérêt périodique i/n correspondant à la fréquence des paiements.

Mathématiquement:

VAP = FM / (i/n)

Pensez bien à utiliser un taux périodique i/n qui correspond à la fréquence de vos flux !!! [taux mensuel pour des flux mensuels, taux trimestriel pour des flux trimestriels, etc.]

III – Mise en pratique

Ex 1:

Vous désirez retirer 1000 $ par mois pendant 10 ans. En sachant que le taux d’intérêt nominal est de 12% capitalisé mensuellement, combien devez avoir sur votre compte bancaire aujourd’hui pour effectuer ses retraits ?!

Réponse:

PMT = 1000 $ ; N = 10 x 12 = 120 mois ; I/Y = 12%/12 = 1% mensuel [pour rappel, ne mettez pas le signe % dans votre calculatrice]

COMP PV = ?

Ex 2:

Vous financez l’achat d’une maison de 400 000 $ par une hypothèque au taux de 20% [nominal capitalisé semestriellement]. Vous prévoyez rembourser cette hypothèque par des paiements mensuels sur une période de 10 ans. Quel sera le montant des mensualités de remboursement ?!

Réponse:

Ici vous devez calculer le montant d’une mensualité mais le taux qui vous est donné est capitalisé semestriellement…

Il y a un conflit entre la fréquence des annuités et celle du taux donné. Vous devez donc trouver un taux périodique équivalent.

Au besoin, consultez: Taux nominal, taux effectif et équivalence de taux: formules et calculatrice

Ici, nous cherchons le taux mensuel (i’/12) équivalent à un taux nominal i de 20% capitalisé semestriellement (n=2).

i’/12 = (1 + i/n)^n/12 -1

i’/12 = (1 + 20%/2)^2/12 -1 = 1,601% mensuel

Maintenant que vous connaissez la valeur du taux périodique qui correspond à la fréquence de vos paiements, vous n’avez plus qu’à mettre les valeurs des variables dans votre machine:

N = 10 x 12 = 120 mois ; I/Y = 1,601% mensuel [ne mettez pas le signe % dans votre calculatrice]; PV = 400 000 $

COMP PMT = ?

Ex 3:

Vous désirez accumuler 100 000 $ en vue de prendre votre retraite. Pour cela, vous pensez épargner 3000 $ tous les 6 mois sur un compte qui rapporte 10% nominal capitalisé semestriellement. Pendant combien de temps allez vous devoir épargner ?!

Réponse:

I/Y = 10%/2 = 5% semestriel ; PMT = 3000 $ ; FV = – 100 000 $

COMP N = ?

Attention le résultat sera ici exprimé en nombre de semestres….

Laissez vos résultats en commentaires pour les valider avec les autres étudiants!!!

Finobuzz vous souhaite bon succès dans vos études !!!

Poursuivez en lisant: FIN3500: Hypothèque canadienne [mensualité, solde restant dû, capital remboursé, intérêt payé] – formules & calculatrice Sharp

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