FIN3500: Taux nominal, taux effectif et équivalence de taux – formules et calculatrice

Finobuzz – FIN3500 – Taux nominal, taux effectif et équivalence de taux: formules et calculatrice

Pour réussir vos examens (intra et final) du FIN3500 Gestion financière de l’entreprise, vous devez impérativement savoir faire la différence entre 3 types de taux:

le taux nominal,
le taux périodique et
le taux effectif.

[NB: Cette matière est à l’examen intra mais vous la réutiliserez aussi pour votre examen final, mémorisez là !!!]

Nous commencerons ici par présenter les formules des différents taux, puis le maniement de votre calculatrice (Sharp El-738C ) pour faire ces calculs plus rapidement. Enfin, nous vous proposons une petite série d’exercices pour vous pratiquer.

Consultez: Étudiant en finance: Quelle calculatrice financière choisir ?!

I – Formules

1/ Le taux nominal (i)

Un taux nominal (i) est généralement un taux donné pour une année, auquel est associé une fréquence de capitalisation (n).

Exemple: un taux nominal de 10% capitalisé mensuellement (n = 12).

Zoom sur les fréquences de capitalisation
Hebdomadaire : n = 52 semaines
Mensuel : n = 12 mois
Trimestriel n = 4 trimestres
Semestriel : n = 2 semestres
Annuel : n = 1 an

Le taux nominal est toujours inférieur ou égal au taux effectif (cf. infra pour le taux effectif)

2/ Le taux périodique (i/n)

Le taux périodique correspond à un taux d’intérêt pour une période de temps donnée. Il est directement lié à un taux nominal (i) et à sa fréquence de capitalisation (n).

Dans les formules qui suivent, le taux périodique s’écrit (i/n), i.e le taux mensuel (i/12) pour un mois, trimestriel (i/4) pour un trimestre, etc, etc.

Exemple: Si le taux nominal est de 20% capitalisé semestriellement, le taux semestriel (i/2) est de 10% (= 20%/2).

NB: En finance, vous devez absolument utiliser un taux périodique qui correspond à la fréquence des flux monétaires que vous voulez actualiser (capitaliser). [cf. partie Valeur actuelle et future]

Autrement dit, si vos flux sont mensuels, prenez un taux mensuel. Vos flux sont annuels, un taux annuel, etc, etc.

Toutefois, dans vos exercices, la fréquence des flux à considérer sera souvent différente de la capitalisation du taux nominal donné dans l’énoncé. C’est notamment le cas de l’hypothèque canadienne (cf. infra)

Exemple: L’énoncé vous donne un taux d’actualisation (i) de 15% capitalisé mensuellement (n = 12), et les flux qui vous étudiez sont semestriels (n’ = 2).

Dans un cas comme celui là, le taux périodique qui vous est fourni dans l’énoncé [obtenu en divisant i par n, ici i/n = 15%/12 = 1.25% / mois] ne correspond pas au taux qui vous devez utiliser [vous devez utiliser un taux semestriel !].

Vous devez donc trouver un taux dit « équivalent » qui correspond à la fréquence de vos flux.

Zoom sur la formule d’équivalence des taux:

Pour passer d’un taux nominal i capitalisé n fois (autrement dit un taux périodique i/n) à un taux nominal i’ capitalisé n’ fois (i’/n’) vous devez utiliser la formule suivante:

(1 + i/n)ⁿ = (1 + i’/n’)^n’

c’est à dire

i’/n’ = (1 + i/n)^n/n’ -1

Par exemple, vous devez chercher les paiements mensuels sur une hypothèque canadienne qui offre un taux nominal de 10%

[Vous devez savoir que les taux hypothécaires sont capitalisés semestriellement n = 2. Ici le taux semestriel est donc de 10%/2 = 5%]

Pour cela, les flux étant mensuels, vous aurez besoin dans un premier temps de déterminer un taux d’intérêt équivalent mensuel [n’ = 12]

ici le taux mensuel sera:

i’/12 = (1 + 10%/2)^2/12 – 1 = 0.82%

3/ Le taux effectif

Le taux effectif correspond à un taux d’intérêt nominal capitalisé annuellement (n’ = 1).

Il est souvent utilisé pour comparer des taux d’intérêts nominaux ayant des capitalisations différentes.

C’est ce taux que les banques ont dorénavant l’obligation de présenter à leurs clients (TEG pour taux effectif global).

Vous pouvez calculer le taux effectif R correspondant à un taux nominal i capitalisé n fois en utilisant la formule suivante:

1 + R = (1 + i/n)ⁿ

ou R = (1 + i/n)ⁿ– 1

Exemple: Le taux effectif correspondant à un taux de 10% capitalisé semestriellement est égal à:

R = (1 + 10%/2)² – 1 = 10.25%

II – Avec la calculatrice [Sur Amazon: Sharp El-738C]

1/ Transformer un taux nominal (i) en taux effectif (R)

Quel est le taux effectif R correspondant à un taux nominal i capitalisé n fois ?!

Reprenons notre exemple précédent:

Quel est le taux effectif correspondant à un taux de 10% capitalisé semestriellement (n=2) ?!

Étapes avec la calculatrice:

Tapez la fréquence de capitalisation n (dans notre exemple tapez 2)
Appuyez sur la touche (x,y)
Tapez la valeur du taux nominal i (NB: ne mettez pas le signe % dans votre calculatrice, dans notre exemple tapez 10)
Appuyez sur la touche 2ndF puis sur la touche EFF [touche PV]
Vous avez votre résultat 🙂

[NB: Si on vous donne un taux périodique i/n, vous avez juste à le convertir en taux nominal i avant de faire votre calcul (pour rappel i = (i/n) x n)]

Réalisation: FCS Tutorat

2/ Transformer un taux effectif (R) en taux nominal (i)

Quel est le taux nominal i capitalisé n fois correspondant à un taux effectif R ?!

Par exemple:

Quel est le taux nominal i capitalisé trimestriellement (n=4) correspondant à un taux effectif de 20% ?!

Étapes avec la calculatrice:

Tapez la fréquence de capitalisation n (dans notre exemple tapez 4)
Appuyez sur la touche (x,y)
Tapez la valeur du taux effectif R (NB: ne mettez pas le signe % dans votre calculatrice, dans notre exemple tapez 20)
Appuyez sur la touche 2ndF puis sur la touche APR [touche PMT]
Vous avez votre résultat 🙂

Réalisation: FCS Tutorat

[NB: Vous pouvez aussi trouver des taux équivalents grâce à votre calculatrice. Néanmoins la procédure est un peu trop « complexe » à notre gout pour que nous vous la présentions… Nous vous conseillons de la faire manuellement avec la formule d’équivalence de taux.]

III – Exercices

1) Quel est le taux trimestriel correspondant à un taux nominal de 20% capitalisé mensuellement ?

2) Quel est le taux nominal capitalisé semestriellement correspondant à un taux nominal de 10% capitalisé mensuellement ?

3) Quel est le taux nominal et le taux effectif correspondant à un taux trimestriel de 5% ?

4) Quel taux mensuel devez vous utiliser pour calculer les mensualités d’une hypothèque canadienne offrant un taux de 20% ?

5) Vous pouvez financer un achat avec un prêt au taux de 12% capitalisé mensuellement ou un prêt au taux de 10% capitalisé hebdomadairement. Quel prêt choisissez-vous ?

Réponses

1) Taux trimestriel = i/4 = (1 + 20%/12)^12/4 – 1 = 5.08%

2) Taux semestriel = i/2 = (1 + 10%12)^12/2 – 1 = 5.10%

d’où un taux nominal i = 2 x 5.10% = 10.20% capitalisé semestriellement.

3) Ici taux trimestriel = i/4 = 5%

donc taux nominal = i = 4 x 5% = 20% ;

et taux effectif = R = (1+5%)⁴ – 1 = 21.55%

4) Souvenez vous que le taux hypothécaire est capitalisé semestriellement !

Donc taux mensuel = i/12 = (1 + 20%/2)^2/12 -1 = 1.6%

5) R₁ = (1 + 12%/12)¹² – 1 = 12.68%

et R₂ = (1 + 10%/52)⁵² -1 = 10.51%.

Le deuxième prêt offre donc un taux effectif plus avantageux.