Finobuzz – FIN3500: Pondération d’un portefeuille de variance minimale à 2 titres

Bien qu’il s’agit d’un sujet plutôt testé dans le cours « Valeurs mobilières », certains exercices du FIN3500 Gestion Financière vous demande de trouver la pondération des titres du portefeuille à variance minimale.

Pour trouver la pondération des titres qui permet de minimiser le risque d’un portefeuille [variance / écart-type] deux possibilités s’offrent à vous: une longue et une moins longue.

La méthode longue consiste à utiliser Excel et à chercher par essai-erreur quelle pondération permet d’avoir le risque de portefeuille le plus faible [vous pouvez aussi utiliser le solveur d’Excel].

L’autre méthode, celle que nous préconisons, consiste à simplement appliquer une formule pour déterminer les poids. La formule est la suivante:

Avec sigma σ l’écart-type des titres [au carré il s’agit de la variance] et avec r la corrélation entre les titres.

[NB: Le produit de la corrélation r et des des deux écarts-types des titres A et B donne la covariance.

Cov(A,B) = corrélation(A,B) x sigma(A) x sigma(B)

où bien r = correlation(A,B) = cov(A,B) / [sigma(A) x sigma (B)]

cf. MAT2080 Méthodes Statistiques]

Bien entendu, la somme des pondérations étant égale à 100%, vous trouverez le poids à affecter au deuxième titre (Wb) en retranchant le poids dans A (Wa) à 100% (=1):

Wb = 1 – Wa

Exemple:

Soit deux titres A et B d’écart-type respectifs 5% et 10% (variance 0,0025 et 0,01). La covariance entre les titres est de 0,05.

Question: Quelle est la pondération à mettre dans A et dans B pour minimiser la variance du portefeuille [s’il est uniquement composé de titres A et B] ?

Réponse:

La corrélation entre les deux titres est de:

r = correlation(A,B) = cov(A,B) / [sigma(A) x sigma (B)] = 0,05 / (0,05 x 0,1) = 10

D’où Wa = [0,01 – 10 x 5% x 10%] / [0,0025 + 0.01 – 2 x 10 x 5% x 10%] = 0,4571 = 45,71%

Il faut donc investir 45,71% du portefeuille dans l’action A et 54,29 % (= 1-0,4571) dans le titre B.

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