Finobuzz – MAT2080 – Lois discrètes: Quelle loi utiliser ?! 

Une des difficultés à surmonter pour les étudiants qui suivent le MAT2080: Méthodes Statistiques de l’UQAM se situe au chapitre 4: Les lois discrètes.

Cette difficulté ne réside pas dans les calculs en eux mêmes, mais plutôt dans l’identification de la bonne loi à considérer.

Afin de vous aider à identifier la bonne loi voici une petit résumé préparé par Finobuzz.

Ne loupez pas: Trois conseils pour réussir le MAT2080

La première question à vous poser est:

Connaissez-vous le nombre de répétition d’expériences ?! la taille de l’échantillon ?!

Si oui, il s’agit soit d’une binomiale B(n,p) ou d’une hypergéométrique H(n,N1,N2) et vous cherchez  à savoir combien de succès vous devriez obtenir en fixant un nombre d’expériences (n).

Sinon, vous avez à faire à une loi géométrique G(p) ou à une binomiale négative B-(n,p). Vous fixez un nombre de succès et vous vous demandez combien d’expériences seront nécessaires pour aboutir à ce nombre de succès (n).

• Binomiale vs. Hypergéométrique

Si vous connaissez le nombre d’expériences, vous avez à faire à une loi binomiale ou à une hypergéométrique. Vous connaissez le n de la binomiale B(n,p) ou de l’hypergéométrique H(n,N1,N2)

Afin de différencier la binomiale de l’hypergéométrique, demandez vous si les probabilités sont influencées par le résultat des expériences précédentes, autrement dit les événements sont-ils  indépendants ou dépendants les uns des autres ?!

Pour bien comprendre ce concept, l’exemple le plus simple est celui de l’urne.

Considérez une urne avec 5 boules noires et 5 boules blanches dedans.

Tirez une boule.

La probabilité que vous tirez une boule noire est de 50% (5 boules noires sur 10), idem pour la proba de tirer une boule blanche.

Maintenant, si vous remettez la boule que vous venez de tirer dans l’urne et en tirez une nouvelle, la proba de tirer une boule noire reste inchangée:

50 %, et 50% pour la proba de tirer une boule blanche.

Vous avez à faire à une loi binomiale 

Mais si vous ne remettez pas la première boule que vous avez pioché dans l’urne et tirez une nouvelle boule, la probabilité de la couleur de la boule que vous allez tirer dépendra de la couleur de la première boule que vous avez tiré.

Si la première est boule tirée est blanche, la proba de tirer une deuxième boule blanche est de 4/9 (4 boules blanches sur 9 boules restantes) et celle de tirer une boule noire de 5/9.

Si vous avez tiré une boule noire la première fois, la proba de piocher une boule blanche passe à 5/9 et celle de tirer une noire à 4/9…

Ce type de loi est une Hypergéométrique.

En résumé:

Avec Remise (Indépendance) = Binomiale

Sans Remise (Dépendance) = Hypergéométrique

De plus, notez que pour une hypergéométrique vous devez absolument connaitre la taille de la population N, ou le nombre de succès N1 et le nombre d’échec N2 dans la population (N = N1 + N2), tandis que pour la binomiale vous n’avez besoin que de connaitre la proba de succès p. NB: p =  N1 / N.

Si un énoncé vous donne une proba de succès p mais pas la taille de la population N , il s’agit surement d’une binomiale !

• Géométrique ou Binomiale négative

Par défaut, s’il ne s’agit pas d’une binomiale ou d’une hypergéométrique (pour rappel vous ne connaissez pas le nombre d’expériences i.e la taille de l’échantillon), il s’agit d’une géométrique G(p) ou d’une binomiale négative B-(n,p). 

Dans ce cas, vous connaissez le nombre de succès qui vous intéresse et c’est ce nombre de succès qui vous permettra d’identifier la bonne loi.

Si vous vous intéressez à un seul et unique succès, vous avez à faire  à une géométrique G(p).

Si le nombre de succès (n) considéré est supérieur ou égal à 2 alors vous avez une binomiale négative B-(n,p)

En résumé

n (nb de succès) = 1 : géométrique G(p)

sinon n sup. ou égal à 2 : B(n,p)

Notez aussi que certain mots clés dans les énoncés des exercices traduisent une notion de durée et vous permettent de savoir qu’il s’agit d’une géométrique ou d’une binomiale négative.

Ces mots sont: dès que, avant que, jusqu’à, etc.

Pour déterminer s’il s’agit d’une géométrique ou d’une binomiale négative, encore une fois référez-vous au nombre de succès (n)

Finobuzz vous souhaite bon succès dans vos examens !

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